Sannsynlighetsregning II

I læren om sannsynligheter finner vi blant annet en tanke om tilfeldige forsøk. Når vi leder slike forsøk vet vi ikke på forhånd hva utfallet vil bli. Vi kjenner kun til mulighetene (utfallsrommet, S). Eksempler på når dette gjelder kan være:

  • Myntkast (S = {Kron, Mynt})
    Kategorisk data
    Diskret utfallsrom
  • Terningkast (S = {1, 2, 3, 4, 5, 6})
    Kategorisk data
    Diskret utfallsrom
  • Banefødsler (S = {Jente, Gutt})
    Kategorisk data
    Diskret utfallsrom
  • Telle antall lungekrefttilfeller i Oslo i løpet av et år (S = {0})
    Diskrete numeriske data (telletall)
    Diskret utfallsrom
  • Kreftbehandling. Hvor lenge lever pasienten? (S = {{\mathbb  {R}}_{{>0}}})
    Kontinuerlig data
    Kontinuerlig utfallsrom

Vi er ofte i sannsynlighetsregning ute etter sannsynligheter for forskjellige delmengder, eller begivenheter innen et gitt utfallsrom. Når vi gjør forsøk bruker vi begrepet serie for å betegne en rekke likeartede forsøk (samme konsept som sets og reps på Domus Athletica).

Hva er sannsynlighet?
Det er ofte snakk om to tolkninger som svar til spørsmålet:

  • Frekventistisk
    Dette beskriver typen sannsynlighet vi er vant med. F.eks. at sannsynligheten for at en terning lander på 6 blir nærmere og nærmere 1/6 jo flere forsøk vi gjør.Skrevet på en ordentlig måte:
    La antall kast i hver serie være N og antall ganger terningen lander på 6 være nA. Den relative frekvensen til A, fA, er andelen kast som lander på 6. Det vil si antall ganger terningen lander på 6, nA, delt på antall totale kast, N: nA/N. Sannsynligheten for A, P(A), nærmer seg den relative frekvensen, fA, når antall kast, N, nærmer seg uendelig.Forenklet: Jo flere kast, jo nærmere kommer vi en “teoretisk sannsynlighet” for at terningen lander på 6.

    Eksempel
    Vi kaster en terning først 12 ganger. Da forventer vi å få 1/6*12 = 2 seksere. Når vi kaster får vi i stedet 4 seksere. Om vi regner ut sannsynligheten utifra dette får vi at sannsynligheten for seksere blir P(6) = 4/12 = 1/3 i stedet. Så kaster vi terningen 120 ganger og får 16 seksere. P(6) = 16/120 = 4/30. 1/6 = 5/30. Her ser vi hvordan den relative frekvensen (praktisk resultat) nærmer seg den teoretiske sannsynligheten ettersom vi kaster flere kast.

  • Bayesiansk
    Dette beskriver en type sannsynlighet som er basert på forventninger i forkant av forsøket og er sannsynligvis ikke pensum.

Vi har (minst) fem grunnleggende regneregler som vi skal lære nå:
U (union) betyr eller
∩ (snitt) betyr og

  • Komplementsetningen
    Komplement.PNG
    Sannsynligheten for A og ikke A legges sammen til 1.
  • Addisjonssetningen for disjunkte hendelser
    addisjon.png
    To disjunkte hendelser har ingenting å gjøre med hverandre. Si at i et klasserom finner vi 50% som shipper Barney og Robin og 30% som shipper Ted og Robin med ingen overlapping. Da er det naturlig at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i klassen shipper Robin med enten Barney eller Ted vil være 50% + 30% = 80%. Sannsynligheten for at en i klassen shipper Robin med både Barney og Ted vil på den andre siden være 0, fordi vi vet at ingen gjør det. Tomme mengder merker vi ofte med Ø. P(B∩T) = Ø.
  • Addisjonssetningen
    Addisjon2.PNG
    Se for deg et venndiagram. Når to hendelser ikke er disjunkte og har overlapp ser vi at om vi teller sannsynlighetene P(A) og P(B), eller sirklene A og B, hver for seg, vil vi telle med området der det overlappes to ganger. Derfor må vi trekke det fra en gang. Fellesarealet noteres P(A∩B).
  • Produktsetningen
    multiplikasjon.png
    Dersom hendelsene A og B skal begge inntreffe, må B inntreffe først for at A skal kunne inntreffe. Dersom sannsynligheten for at A inntreffer er avhengig om B inntreffer eller ikke, kan sannsynligheten regnes utifra multiplikasjonssetningen (produktsetningen).
  • For uavhengige hendelser gjelder
    Uavhengig.PNG
    Dersom sannsynligheten for at A inntreffer er uavhengig av B vil P(A|B) i praksis være det samme som P(A).P(A|B) er et eksempel på betinget sannsynlighet. Det handler om å finne sannsynligheten for at A kommer til å skje dersom B allerede har skjedd. Eksempel: Sannsynligheten for Robin blir sammen med Ted dersom Barney har dødd.

For å friske opp litt kunnskap fra videregående kan det være lurt å sjekke ut matematikk.net. Det er flere eksempler i presentasjonen.

De første forelesningene er for å bygge opp det grunnleggende og kan selvsagt oppleves som kjedelige. Foreleser ønsker at studentene kikker litt på oppgavesettet til gruppearbeidet i morgen (fredag).

LIK står for Legestudentenes Idrettsklubb og er, ja, en idrettsklubb. Medlemskap koster kr 10. Studentlekene arrangeres 10. oktober. Det er bare å stille lag!


ForeleserMagne Thoresen

Ressurser
Presentasjon

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s